Матричная игра

ЗАДАНИЕ № 1

1. Рассчитайте параметры линейной регрессии с помощью стандартной функции Excel линейн(). Поясните смысл найденных параметров.
2. Рассчитайте параметры нелинейной регрессии с помощью стандартной функции Excel лгрфприбл(). Проанализируйте результат.
3. Выведите параметры линейной, логарифмической, степенной, полиномиальной (2, 4, 6 степень) регрессии используя стандартную возможность Excel построение линии тренда. Выберите из всех наилучшую модель для ваших данных.
4. Рассчитайте по ней прогнозируемое значение функции соответствующее среднему значения параметра х. Найдите ошибку прогноза. Сделайте выводы.

10.

№ торгового предприятия	Скорость товарооборота	Уровень рентабельности, %
1	5,49	0,78
2	4,68	0,38
3	4,67	0,21
4	4,54	0,51
5	5,56	0,95
6	6,02	1,05
7	5,72	0,83
8	5,43	0,98
9	6,18	0,66
10	5,11	0,81

1. Для расчета параметров  a  и b  линейной регрессии  y=a+bx , воспользуемся стандартной функцией Excel ЛИНЕЙН(), получим:

b=0,340946;  a=  —1,10465. Уравнение регрессии имеет вид :

y= -1,10465+0,340946 x

 

b= 0,340946 – коэффициент регрессии означает, что с увеличением скорости оборота на 1, уровень рентабельности увеличится на  0,340946 % Параметр a

=-1,10465 — отрезок , который прямая отсекает на оси Y(Если на оси 0Y откладывать уровень рентабельности).

2.  Параметры  показательной  регрессии:        y = bm^x , получены с помощью стандартной функции Excel ЛГРФПРИБЛ():

b=0,024041; m=1,854982.

уравнение регрессии имеет вид: y = 0,024041*1,854982^x.

Сосчитаем по данным двум функциям координаты точек для заданных значений Х, также воспользовавшись средствами Excel, и результаты в виде точечных диаграмм приведем на рисунке 1:

ряд1 – параметры, заданные в исходных данных;

ряд2 – параметры линейной регрессии  y= -1,10465+0,340946 x;

ряд 3 – параметры регрессии y =  0,024041*1,854982^x.

Рисунок 1

 

По рисунку видно, что данные полученных регрессий отслеживают общую тенденцию ряда – увеличение величины X ведет к увеличению величины Y.

3. Параметры линейной, логарифмической, степенной, полиномиальной (2, 4, 6 степень) регрессии получим, используя стандартную возможность Excel построение линии тренда, результат – на рисунке 2.

Рисунок 2

Оценку качества построенной модели характеризует коэффициент детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Коэффициент детерминации R² – квадрат коэффициента корреляции. Он показывает долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у.

 – сумма квадратов отклонений, объясняемая регрессией, то есть сумма квадратов разностей между теоретическим у^t (найденным по уравнению регрессии) и средним значением;

– общая сумма квадратов отклонений.

Выберем в качестве модели для наших данных – полиномиальную функцию:

 , у неё большой коэффициент детерминации:

 =0,7752

Рассчитаем по ней прогнозируемое значение функции, соответствующее среднему значения параметра х.

Среднее значение X:

Ошибка прогноза составит:

где , остаточная дисперсия. В нашем примере n = 10 (количество наблюдений), m = 4 (количество оцениваемых параметров, то есть коэффициентов перед фактором х).

Получили .

Уровень рентабельности при прогнозируемой скорости товарооборота х_пр = 5,34.  может колебаться от y_пр^t =0,97 – 0,214 =0,756%  до y_пр^t = 0,97 + 0,214 =1,184%.

Если взять полином 6-ой степени в качестве модели для наших данных:

y = -4,503x⁶ + 139,28x⁵ — 1786,9x⁴ + 12167x³ — 46368x² + 93745x — 78534

у неё коэффициент детерминации больше:

 = 0,9415, получим:

=0.044

Ошибка прогноза составит: .

Уровень рентабельности при прогнозируемой скорости товарооборота х_пр = 5,34.  может колебаться от y_пр^t =0,934 – 0,127 =0,807%  до y_пр^t = 0,934+0,127=1,061%.

 

ЗАДАНИЕ № 2

Решить матричную игру, заданную матрицей.

10.	1	-3	5	-7	9
P =	-2	4	-6	8	-10

 

Данная игра имеет размерность 2×n и к ней можно применить графический метод решения.

Определяем α и β (есть ли чистые стратегии; и если их нет, находим решение в смешанных стратегиях).

 

Матрица  игры А имеет вид

	Вj Аi	В1	В2	В3	В4	В5	αi
А =	А1	1	-3	5	-7	9	-7
	А2	-2	4	-6	8	-10	-10
	βi	1	4	5	8	9

α называется нижней ценой игры :

==  max{-7;-10}=-7.

Величина β называется верхней ценой игры:

β=min{1;4;5;8;9}=1.

α ≠ β ,  значит нет  чистых стратегий, находим решение в смешанных стратегиях.

Используем графический метод, откладываем отрезок длины единица, на концах которого проводим вертикальные линии.

Матрица 2´n, откладываем на левой и правой вертикальных шкалах значения, получаемые игроком В при использовании его j-й стратегии, то есть В_j и соединяем их линией.

Если второй игрок будет придерживаться только первой стратегии, то будет иметь проигрыш от -2 до 1 рублей. Откладываем на левой вертикальной линии 1 единицу, на правой – -2. Соединяем их, получаем отрезок В₁В₁. Аналогично строим остальные.

После этого выделяем нижнюю ломаную и ее точку максимума — N. Эта точка получена пересечением первой и четвертой прямой, то есть в итоге мы должны рассмотреть матрицу 2´2,

Вторую, третью и пятую стратегии не рассматриваем, они оказались лишними, они не выгодны для 2-го игрока (В). Далее указываем частоты выбора:

	у	1 – у
х	1	-7
1 — х	-2	8

Эту задачу можно решать без использования классической теории оптимизации, то есть можно записать систему уравнений:

1y — 7(1 – y) = V
-2y + 8(1 – y) = V

Аналогично:

1х — 2(1 – х) = V
-7х + 8(1 – х) = V

Решая эти системы, получаем: у = 5/6; х = 5/9; V =-1/3.

Ответ:        V =- 1/3, при Х_опт = (5/9; 4/9) и У_опт = (5/6;0; 0; 1/6;0).

 

ЗАДАНИЕ № 3

Построить матрицу игры и решить

Варианты 6-10

Магазин «Молоко» продаёт в розницу молочные продукты. Директор магазина должен определить, сколько бидонов сметаны следует закупать у производителя в течение недели. Вероятности того, что спрос на сметану в течение недели будет 7, 8, 9 или 10 бидонов заданы. Известна цена, по которой обходится покупка одного бидона сметаны магазину, а также цена, по которой сметана продаётся. Если сметана не продаётся в течение недели, то она портится и магазин несёт убытки. Сколько бидонов сметаны желательно приобретать для продажи? Какова ожидаемая стоимостная ценность этого решения?

№ варианта	6	7	8	9	10
Цена покупки	70	60	80	65	85
Цена продажи	110	95	130	110	150
Спрос	Вероятность
7	0,2	0,3	0,1	0,4	0,2
8	0,2	0,1	0,3	0,2	0,3
9	0,5	0,4	0,4	0,3	0,3
10	0,1	0,2	0,3	0,1	0,2

Сосчитаем затраты, при покупке:

7 бидонов сметаны  – 7*85=595;

8 бидонов сметаны  – 8*85=680;

9 бидонов сметаны  – 9*85=765;

10 бидонов сметаны  – 10*85=850.

Выручка от продажи:

7 бидонов сметаны  – 7*150=1050;

8 бидонов сметаны  – 8*150=1200;

9 бидонов сметаны  – 9*150=1350;

10 бидонов сметаны  – 10*150=1500.

Обозначим через x_i возможные решения — сколько бидонов сметаны приобретать для продажи:

X₁ — 7 бидонов;

X₂  — 8 бидонов;

X₃ — 9 бидонов;

X₄ — 10 бидонов.

Через S_j – возможное состояние спроса:

S₁ – 7 бидонов;

S₂ – 8 бидонов;

S₃ – 9 бидонов;

S₅ – 10 бидонов;

Оценим каждый исход, то есть найдём значения d_ij. Здесь i,j = 1, 2, 3, 4. Запишем их в матрицу игры, размерность которой будет 4х2. Например, d₂₂ – значение прибыли, если приобрели и продали 8 бидонов сметаны:

d₂₂ =1200-689 = 520

Таблица 1

D =	Sj xi	1	2	3	4
	1	455	455	455	455
	2	370	520	520	520
	3	285	435	585	585
	4	200	350	500	650

1. Правило максимальной вероятности. Суть его: максимизация наиболее вероятных доходов.

Известны вероятности спроса р_j, причём их сумма равна 1.

Sj	1	2	3	4
pj	0,2	0,3	0,3	0,2

Максимальная вероятность равна 0,3 – что соответствует (2 или 3 случаю) т. е. спросу на  8 или 9 бидонов сметаны в неделю. В таблице доходов (таблица 1) видим, что максимальный доход при спросе 8 бидонов сметаны в неделю  равен 520 – что соответствует решению закупить 8 бидонов сметаны в неделю. Максимальный доход при спросе на 9 бидонов сметаны в неделю (с той же вероятностью)  равен 585 – что соответствует решению 9 бидонов сметаны в неделю.

Но 585 больше 520.

Вывод: закупать 9 бидонов сметаны в неделю возможен доход 585.

Следующая группа правил состоит в оптимизации математического ожидания функции цели (прибыль, доход, убытки и др.).

2. Максимизация ожидаемого дохода для возможных решений. Для этого используют критерий принятия решений в условиях риска. Известна вероятность возникновения той или иной ситуации. p_j – вероятность возникновения спроса в объёме S_j. Тогда можно найти математическое ожидание дохода (MD) по формуле:

Определим математическое ожидание для каждого из 5-и возможных решений. Найденные значения сведём в таблицу:

Расчёт ведём по значениям d_ij из первой таблицы. Так, например, для x₁ = 1 получаем: MD₁ =455×0,2 +455×0,3 +455×0,3 +455×0,2 = 455×(0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,2) =455×1 = 455.

Для x₂ = 2 получаем: MD₂ = 370×0,2 +520×0,3+520×0,3+520×0,2 = -370×0,2 + 520× (0,3 + 0,3 + 0,2) =74 +520×0,8 =74 +416 = 490.

Аналогично находим остальные значения.

xi	MDi	Максимальное значение равно 490; то есть V = 490
1	455
2	490
3	480
4	425

 

Вывод: максимальное математическое ожидание прибыли составит 490, если приобретать 9 бидонов молока в неделю..

 

ЗАДАНИЕ № 4

Построить сетевой график по предложенному списку работ и заданной технологической последовательности. При необходимости добавить фиктивные работы. Найти основные параметры: ранние и поздние времена наступления событий, критическое время выполнения проекта и критический путь, раннее и позднее время начала и окончания работы, резервы времени работ (полный, свободный и независимый), коэффициент напряжённости.
 

9-12. Реконструкция ткацкого цеха

№	Содержание работы	Предш. работы	tij для вариантов
			9	10	11	12
1	Демонтаж старых станков	—	8	7	8	9
2	Подготовительные работы	—	6	7	6	7
3	Подготовка новых станков к установке	1, 2	7	8	6	7
4	Подготовка фундамента	1, 2	10	12	13	14
5	Электротехнические работы	1, 2	8	8	8	9
6	Установка новых станков	3, 4	18	19	18	20
7	Косметический ремонт цеха	3, 4	20	21	23	22
8	Прокладка кабеля	3, 4, 5	12	13	12	13
9	Подключение станков	6, 8	5	6	5	6
10	Холостая обкатка ткацких станков	7, 9	3	4	4	3
11	Заправка станков	7, 9	6	7	7	6
12	Физико-механические испытания ткани	10	6	7	7	6
13	Технологические испытания	10, 11	4	3	4	4
14	Приёмка цеха после реконструкции	12, 13	2	1	1	2

На рисунке 1 изображен сетевой график работ.  В кружках проставлены номера событий, возле дуг со стрелками (сверху) проставлены времена выполнения соответствующих работ, возле дуг (снизу) проставлены номера работ из условия задачи.

Рисунок 1

Определение. Наиболее продолжительный полный путь называется критическим.

Определение. Под длиной пути в сетевом графике понимают суммарную продолжительность составляющих его работ.

При этом счёт времени ведут от наступления начального события, время его наступления полагают равным нулю. Временем наступления любого события j будем считать время окончания всех работ, завершающихся событием j.

Определение. Наиболее раннее время (минимальное) возможного наступления события j (T^p_j) равно максимальной длине пути из входа в j-е событие.

Оно же, следовательно, является наиболее ранним временем начала всех работ, выходящих из j-го события.

Определение. Критическим временем (Т_кр) выполнения проекта называется время наступления последнего события.

То есть это минимальное время, в пределах которого коллектив исполнителей в состоянии выполнить весь комплекс работ сетевого графика.

Определение. Путь максимальной длины от входа до выхода, равный критическому времени, называется критическим путём (Р_кр).

Пусть для определенности начальное событие имеет номер 0 и конечное номер N . Обозначим через L_j длину максимального пути от события 0 до события j.

 

По известному принципу оптимальности Р. Беллмана

Величина L_j соответствует наиболее раннему времени T_j^р наступления j-го события, то есть самому раннему сроку завершения всех работ, предшествующих этому событию. Значение L_N  соответствует критическому времени выполнения проекта T_кр.

Обозначим через М_j длину пути наибольшей протяженности от события j до события N . Тогда по тому же принципу

Величина T_j^п = T_кр — М_j соответствует наиболее позднему допустимому времени наступления j—го события, то есть самому позднему сроку начала всех работ, последующих за этим событием. Совершенно очевидно, что для событий, лежащих на критическом пути, самое раннее и самое позднее времена их наступления будут совпадать.

Теорема. Для того, чтобы событие j принадлежало критическому пути, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство T_j^р = T_j^п.

Рассмотрим сетевой график (рис. 1). Определим для него основные параметры событий. Все найденные значения удобно свести в таблицу.

Таблица 2

j	Tjр	i	Мj	k	Tjп	rj
1	2	3	4	5	6	7
0	0	‑	56	1	0	0
1	7	0	49	2	7	0
2	7	0 или 1	49	4	7	0
3	15	2	37	4	19	4
4	19	2	37	6	19	0
5	19	4	31	6	25	6
6	38	4	18	7	38	0
7	44	6	12	8	44	0
8	48	7	8	10	48	0
9	51	7	4	10	52	1
10	55	8	1	11	55	0
11	56	10	0	—	56	0

Здесь рассчитываем значения T_j^р в порядке роста номеров, то есть T₀^р = 0; T₁^р = 7 (i = 0); T₂^р = 7 (i = 0 или 1); T₃^р =15(i =2); T₄^р =19 (i =2); T₅^р =19 (i =2); T₆^р =38 (i =4)  и т. д.

Затем рассчитываем значения М_j в порядке убывания номеров, то есть начинаем с М₁₁. М₁₁ = 0; М₁₀ =1 (k = 11); М₉ =4 (k =10); М₈ =8 (k = 10) и т.д.

Резерв времени событий находим по формуле: r_j = T_j^п — T_j^p.

В итоге имеем информацию о наиболее ранних и наиболее поздних моментах наступления событий и индексы предшествующих и последующих событий в самых длинных путях, проходящих через данное событие.

По информации из колонок 3 и 5 можно выявить критический путь с длиной 56:

Р = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}.

Причём запись пути по индексу i ведём от события 0 до события 10, по индексу k – от события 10 до события 0. Найденный критический путь выделяют на сетевом графике.

Используют следующие резервы времени:

1. Полный резерв          r_ij = T_j^п— T_i^р — t_ij

2. Свободный резерв              r_ij = T_j^р — T_i^р — t_ij ,

3. Независимый резерв r_ij =max [T_j^р — T_i^п — t_ij, 0].

Так полный резерв работы можно понимать как время, на которое можно замедлить выполнение работы, если предшествующие работы завершатся к самому раннему сроку, но комплекс последующих работ будет выполняться в кратчайший возможный срок. Независимый резерв предполагает завершение предшествующих работ к самому позднему, но начало последующих в самый ранний срок.

Результаты обработки приведенного сетевого графика можно представить следующей таблицей:

Таблица 3

Работа	Продолжительность	Раннее время		Позднее время		Резервы времени
		начала	конца	начала	конца	полн.	своб.	незав.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
0-1	7	0	7	0	7	0	0	0
0-2	7	0	7	0	7	0	0	0
1-2	0	7	7	7	7	0	0	0
2-3	8	7	15	7	19	4	0	0
2-4	12	7	19	7	19	0	0	0
2-5	8	7	19	7	25	10	4	4
4-6	19	19	38	19	38	0	0	0
4-7	21	19	44	19	44	4	4	4
4-5	0	19	19	19	25	6	0	0
5-6	13	19	38	25	38	6	6	0
6-7	6	38	44	38	44	0	0	0
7-8	4	44	48	44	48	0	0	0
7-9	7	44	51	44	52	1	0	0
8-10	7	48	55	48	55	0	0	0
9-10	3	51	55	52	55	1	1	0
10-11	1	55	56	55	56	0	0	0

 

Одним из параметров сетевого графика, характеризующим напряжённость выполнения работы является коэффициент напряжённости (k_ij). Для нахождения этого коэффициента отыскивается путь максимальной длины, проходящий через данную работу, при этом используются индексы предшествующих и последующих событий, которые мы находили при поиске T_j^р и T_j^п. На этом пути ищутся ближайшие слева и справа события, принадлежащие критическому пути, и определяется отношение длины пути между этими событиям, проходящего через данную работу, к длине соответствующего отрезка критического пути.

Определение. Коэффициентом напряжённости называют максимальное среди отношений длин несовпадающих отрезков пути максимальной длины и критического, заключённых между одними и теми же событиями, принадлежащими обоим путям.

Критический путь: Р = {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11}

Длина критического пути :

Для критических работ k_ij = 1.  Через некритическую работу 2-3 проходит путь максимальной длины  {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 10, 11}. Ближайшими соседями на критическом пути   {0, 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 11} будут события 2 и 4. Отсюда находим коэффициент напряженности:

 

Аналогично получаем:

 

ЗАДАНИЕ № 5

Задача деления ресурса X на две части

Допустим, что мы имеем сумму X денежных единиц, которую разделим на две части Y и (X-Y), где 0 £ Y £ X. Затем на часть Y покупаем оборудование типа A и на часть (X-Y) оборудование типа B. Эксплуатация оборудования в течение некоторого периода даёт доход g(Y) и h(X-Y). По истечении периода оборудование может быть каким-либо образом реализовано за сумму aY + b(X-Y), где 0 £ a,b £ 1. Выручка от продажи вновь используется для закупки оборудования и т.д. Этот процесс продолжается в течение N периодов.

Найти оптимальную политику закупки оборудования, при которой суммарная прибыль будет максимальной.

Решить для N = 4,  g(Y) = aY,  h(X-Y) = b(X-Y);

(В колонке с именем № указаны номера вариантов)

 

№	a	b	a	b
10	0,7	1,2	0,8	0,6

Решим данную задачу при a = 0,7; b = 1,2; a = 0,8; b = 0,6 и N=4.

g(Y) = aY,  h(X-Y) = b(X-Y) , т.е. g(Y) = 0.7Y,  h(X-Y) = 1.2(X-Y)

По истечении периода оборудование может быть реализовано за сумму aY + b(X-Y), т.е. на сумму  0.9Y + 0.5(X-Y)

 

Найдем прибыль одношагового процесса:

Здесь пришлось выбирать максимум из двух значений функций: при Y = 0 и Y = Х, то есть на границах области определения Y, так как функция, определяющая f(х), линейна по Y.

Итак, прибыль одношагового процесса:

 

Прибыль двухшагового процесса будет равна:

f₂(x) = max{0,7y + 1,2(x—y) + f₁(0,8y + 0,6(x—y))} = max{0,7y + 1,2(x—y) + 1,2(0,8y + 0,6(x—y))} = max{(1,2x + 1,2×0,6x); (0,7x + 1,2×0,8x)} = max(1,92x; 1,66x) = 1,92x, причём максимум находили при 0 £ y £ x и получили при y₂(x) = 0.

Здесь функция f₂(x) выражена через f₁(aх + b(х-у)). Так как функция f₁(x), найденная в общем виде как f₁(x) = 1,2х, то f₁(ay + b(х-у)) =1,2(aу + b(х-у)).

Итак, прибыль двухшагового процесса:

 

Для трехшагового процесса:

f₃(x) = max{0,7y + 1,2(x—y) + f₂(0,8y + 0,6(x—y))} = max{0,7y + 1,2(x—y) + 1,92(0,8y + 0,6(x—y))} = max{(1,2х + 1,92× 0.6x); (0.7х+1,92×0,8х)} = max{2,352х; 2,236x} = 2,352х  при y₃(x) =0.

Итак, прибыль трехшагового процесса:

 

Максимум также находили по 0 £ y £ x.

Для четырехшагового процесса:

F₄(x) = max{0,7y + 1,2(x—y) + f₃(0,8y + 0,6(x—y))} = max{0,7y + 1,2(x—y) + 2,352(0,8y + 0,6(x—y))} = max{(1,2х + 2,352× 0.6x); (0.7х+2,352×0,8х)} = max{2,6112х; 2,5816x} = 2,6112х  при y₄(x) =0.

Итак, прибыль четырехшагового процесса:

 

 

Итак, максимальная прибыль четырехшагового процесса равна 2,6112х.

Выясним структуру оптимального распределения по шагам процесса.

В первый год четырехшагового процесса y₁ = y₄(x) = 0, то есть машины типа А вообще не закупать, на всю сумму Х покупать машины типа В. Прибыль первого года составит 1.2(х-y) = 1,2х. После реализации приобретенных машин типа В получаем выручку b(х — у₁) = 0,6х = х₁. Следовательно, оставшийся трехшаговый процесс начинаем с распределения суммы х₁ = 0,6х.

Оптимальное поведения на втором шаге четырехшагового процесса или что то же самое на первом шаге оставшегося трехшагового процесса есть: у₂ = у₃(х₁) = у₃(0,6х) = 0.

Вновь покупаемые машины типа B на всю сумму 0,6х, (так как у₂ = 0), которые дают прибыль второго шага β (x₁-у₂) = 1,2(0,6х) = 0,62х и выручку от реализации х₂ = b(x1-у₂) = 0,6(0,6х) = 0,36х, с которой начинаем оставшийся двухшаговый процесс.

Оптимальное проведение третьего шага будет: у₃ = у₂(х₂) = у₂(0,36х) = 0, то есть покупать машины только типа B. Прибыль третьего шага β(x2— у₃ )= 1,2(0,36х) = 0,432х, выручка от реализации х₃ =b(x2— у₃) = 0,6(0,36х) = 0,216х.

Оптимальное проведение четвертого шага будет: у₄ = у₁(х₃) = у₄(0,216х) =0, то есть покупать машины только типа B. Прибыль четвертого шага β(x3— у₄ ) = 1,2(0,216х) = 0,2592х, выручка от реализации х₄ = b(x3— у₄) = 0,6(0,216х) = 0,1296х.

Так как нас интересовала только прибыль за четыре периода, то можно получить найденную сумму f₄(х) = 2,6112х, просуммировав величины прибылей каждого периода:

1,2х + 0,72х + 0,432х + 0,2592х = 2,6112х.

Мы нашли не значения функций F_k(X), Y_k(X), а сами функции, что позволит нам выяснить оптимальную политику при любом начальном ресурсе Z